Question

18．如圖，經(jīng)過點A（-1，0），C（0，-2）的拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標(biāo)；
（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y₁，若新拋物線y₁的頂點P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）在（1）的結(jié)論下，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得∠APB為銳角？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把點A（-1，0），C（0，-2）代入拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$求出b，c的值即可得出其解析式，再求出頂點D的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)用m表示出拋物線y₁的解析式，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時EF的長即可得出m的取值范圍內(nèi)；
（3）先根據(jù)勾股定理判斷出△ABC的形狀，再根據(jù)拋物線的對稱性得出∠APB=90°時另一點的坐標(biāo)，進而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（-1，0），C（0，-2）在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$上，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-b+c=0\\ b=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{3}{2}\\ c=-2\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∴D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）∵由（1）知，拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，即y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴新拋物線y₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{8}$+m，
∴其頂點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，m-$\frac{25}{8}$），
∴設(shè)拋物線y₁的對稱軸為直線l，即x=$\frac{1}{2}$．
∵頂點P在△ABC內(nèi)，B（4，0），
∴新拋物線的頂點在線段EF上，
∵B（4，0），C（0，-2）
∴BE=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，OC=2，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{EF}{\frac{7}{2}}$=$\frac{2}{4}$，解得EF=$\frac{7}{4}$，
∵D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），$\frac{25}{8}$-$\frac{7}{4}$=$\frac{11}{8}$，
∴$\frac{11}{8}$＜m＜$\frac{25}{8}$；

（3）∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{20}$，AB=4+1=5，
∴△ACB是直角三角形，即∠ACB=90°．
過點C作CG∥x軸，
∵C（0，-2），
∴G（3，-2），
∴當(dāng)點P與點C或點G重合時∠APB=90°，
∴當(dāng)點P在點C與點G之間的拋物線上時，∠APB是銳角，
∴點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：0＜x＜3．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理的逆定理等知識，難度較大．