Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D是邊BC上（不與B，C重合）一動(dòng)點(diǎn)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E．下列結(jié)論：
①AD²=AE•AB；
②3.6≤AE＜10；
③當(dāng)AD=2$\sqrt{10}$時(shí)，△ABD≌△DCE；
④△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或12.5．
其中正確的結(jié)論是①②③④．
（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；
②依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得；
③由AD=2$\sqrt{10}$時(shí)，求得DC=10，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等則兩三角形全等，即可證得；
④分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AD²=AE•AB，
故①正確，
②易證得△CDE∽△BAD，∵BC=16，
設(shè)BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4，
∵AE=AC-CE=10-x，
∴3.6≤AE＜10．
故②正確．
③作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=$\frac{4}{5}$，
∵BC=16，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴AG=6，
（1）當(dāng)點(diǎn)D在G點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖1所示，
∵AD=2$\sqrt{10}$，
∴DG=2，
∴CD=CG+DG=8+2=10，
∴AB=CD，
∴△ABD與△DCE全等；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在G點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖2所示，
∵AD=2$\sqrt{10}$，
∴DG=2，
∴CD=CG-DG=8-2=6，
∴AB≠CD，
∴△ABD與△DCE不全等；
故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)∠AED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
BD=8．
當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$．AB=10，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，不等式的性質(zhì)．進(jìn)行分類(lèi)討論是解決④的關(guān)鍵．