Question

8．已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°．
（1）如圖1，點(diǎn)E、B、C三點(diǎn)在一條直錢上，連接AE，若∠AEC=30°，BC=4，求BE的長(zhǎng)．
（2）如圖2，將△BDE以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C在ED延長(zhǎng)線上時(shí)，EC交AB于點(diǎn)H．求證：∠BAE=2∠BCH．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥BC于H．利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AH，在Rt△AEH中，根據(jù)EH=$\frac{AH}{tan30°}$，求出EH即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，連接AD．由△BHD∽△CHA，推出△AHD∽△CHB，推出∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，推出∠ADB=90°+45°=135°，推出∠ADE=360°-90°-135°=135°，即∠ADE=∠ADB，推出△ADE≌△ADB，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴AH=BH=HC=2，
在Rt△AEH中，∵∠AHE=90°，AH=2，∠AEH=30°，
∴EH=$\frac{AH}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=EH-BH=2$\sqrt{3}$-2．

（2）證明：如圖2中，連接AD．

∵∠BDH=∠HAC，∠BHD=∠CHA，
∴△BHD∽△CHA，
∴$\frac{DH}{AH}$=$\frac{BH}{CH}$，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AH}{CH}$，∵∠AHD=∠CHB，
∴△AHD∽△CHB，
∴∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，
∴∠ADB=90°+45°=135°，
∴∠ADE=360°-90°-135°=135°，
∴∠ADE=∠ADB，
在△ADE和△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADB}\\{DE=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADB，
∴∠DAE=∠DAB，
∵∠DAB=∠BCH，
∴∠BAE=2∠BCH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．