Question

14．如圖，點(diǎn)M（-3，m）是一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP=a（a≠2），過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線，分別交一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，B，過OP的中點(diǎn)Q作x軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，△ABC′與△ABC關(guān)于直線AB對稱．
①當(dāng)a=4時(shí)，求△ABC′的面積；
②當(dāng)a的值為3時(shí)，△AMC與△AMC′的面積相等．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)解析式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，-2），然后把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得k的值，可得反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）①連接CC′交AB于點(diǎn)D．由軸對稱的性質(zhì)，可知AB垂直平分OC′，當(dāng)a=4時(shí)，利用函數(shù)解析式可分別求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，于是可得AB和CD的長度，即可求得△ABC的面積；
②由題意得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$，$\frac{12}{a}$），則C′（$\frac{3a}{2}$，$\frac{12}{a}$），根據(jù)△AMC與△AMC′的面積相等得出C和C′到直線MA的距離相等，得出C、A、C′三點(diǎn)共線，進(jìn)而求解．

解答 解：（1）把M（-3，m）代入y=x+1，則m=-2．
將（-3，-2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=6，則反比例函數(shù)解析式是：y=$\frac{6}{x}$；

（2）①連接CC′交AB于點(diǎn)D．則AB垂直平分CC′．
當(dāng)a=4時(shí)，A（4，5），B（4，1.5），則AB=3.5．
∵點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)，
∴Q（2，0），
∴C（2，3），則D（4，3），
∴CD=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×3.5×2=3.5，則S_△ABC′=3.5；
②∵△AMC與△AMC′的面積相等，
∴C和C′到直線MA的距離相等，
∴C、A、C′三點(diǎn)共線，
∴AP=CQ=$\frac{12}{a}$，
又∵AP=PN，
∴$\frac{12}{a}$=a+1，解得a=3或a=-4（舍去），
∴當(dāng)a的值為3時(shí)，△AMC與△AMC′的面積相等．
故答案是：3．

點(diǎn)評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對稱的性質(zhì)．難度較大，解題時(shí)需要注意數(shù)形結(jié)合．