Question

14．如圖矩形ABCD中AB=6，AD=4，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，把矩形ABCD沿過P點(diǎn)的直線l折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的D′處，直線l與CD邊交于Q點(diǎn)．
（1）在圖（1）中利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出直線l．（保留作圖痕跡，不寫作法和理由）
（2）若PD′⊥PD，①求線段AP的長度；②求sin∠QD′D．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）由（1）知，PD=PD′，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADP=∠BPD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=PB=4，得到AP=2；根據(jù)勾股定理得到PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD′=$\sqrt{DD{′}^{2}-C{D}^{2}}$=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接PD，以P為圓心，PD為半徑畫弧交BC于D′，
過P作DD′的垂線交CD于Q，
則直線PQ即為所求；
（2）由（1）知，PD=PD′，
∵PD′⊥PD，
∴∠DPD′=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，
∴∠ADP=∠BPD′，
在△ADP與△BPD′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}\\{∠ADP=∠BPD′}\\{PD=PD′}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BPD′，
∴AD=PB=4，
∵PB=AB-AP=6-AP=4，
∴AP=2；
∴PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PD=PD′，PD⊥PD′，
∵DD′=$\sqrt{2}$PD=2$\sqrt{10}$，
∴CD′=$\sqrt{DD{′}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=$\frac{CD′}{DD′}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-軸對稱變換，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．