Question

10．如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于點Q；
（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
（2）若∠ABP=15°，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可證明△ABC是等邊三角形；
（2）通過作輔助線，構造等腰直角三角形求解．

解答 （1）解：△ABC是等邊三角形．
證明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：設正△ABC的高為h，則h=BC•sin60°．
∵$\frac{1}{2}$BC•h=4$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$BC•BC•sin60°=4$\sqrt{3}$，
解得BC=4，
如圖1，連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，從而得∠OCE=30°，
∴OC=$\frac{CE}{cos30°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如圖2，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點G，使∠GNM=15°，則∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足為H．
設GH=1，則cos∠GNM=cos15°=$\frac{MN}{2}$．
在Rt△GHN中，
NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°，
∴RH=GH，MN=RN•sin45°，
∴cos15°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
在圖中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC•cos15°=2$\sqrt{2}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)的概念，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質，通過作輔助線，構造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很強的綜合性．