Question

6．已知，如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形（其中∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB，AC=AF），求證：EF=2AD．

Answer 1

分析 延長AD到G，使DG=AD，連接BG，CG（如圖），根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，得到ABGC為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CB=AC=AE，∠BAC+∠ABG=180°，再由已知∠BAC+∠FAE=180°，從而得到∠DAE=∠ABG，再由已知的等腰直角三角形ABD得到AB=AE，利用SAS求證△AEF≌△ABG，最后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得證．

解答 證明：延長AD到G，使DG=AD，連接BG，CG（如圖）
∵BD=CD，AD=DG，
∴四邊形ABGC為平行四邊形．
∴GB=AC=AF，∠BAC+∠ABF=180°
又∵∠BAC+∠FAE=180°，
∴∠DAE=∠ABG，
在△AEF與△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠EAF}\\{BG=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABG（SAS），
∴EF=AG=2AD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．