Question

5．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，連結(jié)AC，CE．
（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，設(shè)CD=x．用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小？并求出它的最小值；
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=8，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形和直角三角形的性質(zhì)可知AE的值就是代數(shù)式 $\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC+CE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$+$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（12-x）^{2}+9}+\sqrt{{x}^{2}+4}$；
（2）如圖1所示：C是AE和BD交點(diǎn)時(shí)，AC+CE的值最小，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD．

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}$=13．
（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，連接AE交BD于點(diǎn)C．

∵AE=AC+CE=$\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{（8-x）^{2}+16}$，
∴AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值．
過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，則AB=DF=4，AF=BD=8．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查最短路線問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)造出符合題意的直角三角形是解題的關(guān)鍵．