Question

14．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別為AB、AC邊上的點，且$\frac{AD}{AE}$=$\frac{4}{5}$，連結(jié)DE，若AC=4，BC=3．求證：
（1）△ABC∽△AED； 
（2）DE⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，于是得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，推出$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠C=90°，根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED； 

（2）∵△ABC∽△AED，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴DE⊥AB．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．