Question

1．如圖，已知拋物線y=a（x+1）（x-5）與x軸從左至右交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，5）．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD，CD，直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把C點坐標(biāo)代入y=a（x+1）（x-5）中求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）先解方程-（x+1）（x-5）=0得A（-1，0），B（5，0），再利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=-x+5，設(shè)D（x，-x²+4x+5），則E（x，-x+5），F(xiàn)（x，0），（0＜x＜5），則DE=-x²+5x，EF=-x+5，利用三角形的面積公式進(jìn)行討論：當(dāng)DE：EF=2：3時，S_△BDE：S_△BEF=2：3；當(dāng)DE：EF=3：2時，S_△BDE：S_△BEF=3：2，從而可得到關(guān)于x的方程，然后解方程求出x就看得到對應(yīng)的D點坐標(biāo)；
（3）先確定拋物線的對稱軸，如圖，設(shè)M（2，t），利用兩點間的距離公式得到BC²=50，MC²=t²-10t+29，MB²=t²+9，利用勾股定理的逆定理分類討論：當(dāng)BC²+MC²=MB²時，△BCM為直角三角形，則50+t²-10t+29=t²+9；當(dāng)BC²+MB²=MC²時，△BCM為直角三角形，則50+t²+9=t²-10t+29；當(dāng)MC²+MM²=BC²時，△BCM為直角三角形，則t²-10t+29+t²+9=50，然后分別解關(guān)于t的方程，從而可得到滿足條件的M點坐標(biāo)．

解答 解：（1）把C（0，5）代入y=a（x+1）（x-5）得-5a=5，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）（x-5），即y=-x²+4x+5；
（2）能．
當(dāng)y=0時，-（x+1）（x-5）=0，解得x₁=-1，x₂=5，則A（-1，0），B（5，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=-x+5，
設(shè)D（x，-x²+4x+5），則E（x，-x+5），F(xiàn)（x，0），（0＜x＜5），
∴DE=-x²+4x+5-（-x+5）=-x²+5x，EF=-x+5，
當(dāng)DE：EF=2：3時，S_△BDE：S_△BEF=2：3，即（-x²+5x）：（-x+5）=2：3，
整理得3x²-17x+10=0，解得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=5（舍去），此時D點坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{65}{9}$）；
當(dāng)DE：EF=3：2時，S_△BDE：S_△BEF=3：2，即（-x²+5x）：（-x+5）=3：2，
整理得2x²-13x+15=0，解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=5（舍去），此時D點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）；
綜上所述，當(dāng)點D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{65}{9}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）時，直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分；
（3）拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，
設(shè)M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC²=5²+5²=50，MC²=2²+（t-5）²=t²-10t+29，MB²=（2-5）²+t²=t²+9，
當(dāng)BC²+MC²=MB²時，△BCM為直角三角形，∠BCM=90°，即50+t²-10t+29=t²+9，解得t=7，此時M點的坐標(biāo)為（2，7）；
當(dāng)BC²+MB²=MC²時，△BCM為直角三角形，∠CBM=90°，即50+t²+9=t²-10t+29，解得t=-3，此時M點的坐標(biāo)為（2，-3）；
當(dāng)MC²+MM²=BC²時，△BCM為直角三角形，∠CMB=90°，即t²-10t+29+t²+9=50，解得t₁=6，t₂=-1，此時M點的坐標(biāo)為（2，6）或（2，-1），
綜上所述，滿足條件的M點的坐標(biāo)為（2，7），（2，-3），（2，6），（2，-1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求直線和拋物線的解析式，會求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；能運用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；學(xué)會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．