Question

12．已知a，b是方程x²-x-1=0的兩個(gè)實(shí)根，則2a⁵+5b³=21．

Answer 1

分析 由a，b是方程x²-x-1=0的兩個(gè)實(shí)根可知：a²=a+1，b²=b+1，然后將2a⁵+5b³變?yōu)?0a+10b+11，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知a+b=1，從而可求得問題的答案．

解答 解：∵a，b是方程x²-x-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴a²=a+1，b²=b+1．
∴2a⁵+5b³
=2a（a+1）²+5b（b+1）
=2a（a²+2a+1）+5b²+5b
=2a（3a+2）+5（b+1）+5b
=6a²+4a+10b+5
=6（a+1）+4a+10b+5
=10a+10b+11
∵a，b是方程x²-x-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴a+b=1．
∴原式=10a+10b+11=10×1+11=21．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)，注意若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，將2a⁵+5b³變?yōu)?0a+10b+11是解此題的關(guān)鍵．