Question

1．如圖，點0為矩形ABEC的中心；M為AB的中點，AH⊥CM于H，連OE，EM，BH，下列結(jié)論：①BM²=MH•MC；②△MCE為等邊△；③若BH=OE，則tan∠CEO=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；④OH∥EM，其中正確的個數(shù)有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①首先根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△ACM∽△HAM，即可判斷出$\frac{AM}{MH}=\frac{MC}{AM}$，所以AM²=MH•MC；然后根據(jù)M為AB的中點，可得AM=BM，據(jù)此推得BM²=MH•MC即可．
②首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ACM≌△BEM，即可推得MC=ME，所以△MCE為等腰三角形；然后根據(jù)無法判斷CM、CE的關系，推得△MCE為等邊三角形這個結(jié)論不正確．
③首先連接BC，判斷出BH=OE=$\frac{1}{2}$BC；然后根據(jù)BM²=MH•MC，判斷出△BMH∽△CMB，即可判斷出MB=2MH，據(jù)此推得∠HAM=30°，∠ACH=30°，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AM$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，所以$\frac{AC}{AB}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；最后根據(jù)OE=OC，可得∠CEO=∠ECO，據(jù)此求出tan∠CEO的值是多少即可．
④首先延長HO交CE于點D，假設OH∥EM，則推得CH=DH；然后根據(jù)已知條件無法判斷出CH=DH，所以OH∥EM不成立，據(jù)此判斷即可．

解答 解：∵AH⊥CM，
∴∠AMH+∠HAM=90°，
又∵∠AMH+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠HAM，
在△ACM和△HAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠HAM}\\{∠CAM=∠AHM}\end{array}\right.$
∴△ACM∽△HAM，
∴$\frac{AM}{MH}=\frac{MC}{AM}$，
∴AM²=MH•MC，
又∵M為AB的中點，
∴AM=BM，
∴BM²=MH•MC，
∴結(jié)論①正確．

在△ACM和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BM}\\{∠CAM=∠EBM}\\{AC=BE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△BEM，
∴MC=ME，
∴△MCE為等腰三角形，
∵無法判斷CM、CE的關系，
∴不能確定△MCE為等邊三角形，
∴結(jié)論②不正確．

如圖1，連接BC，，
∵點0為矩形ABEC的中心，
∴BC所在的直線經(jīng)過點O，
∵點O是BC邊的中點，
∴OE=$\frac{1}{2}BC$，
又∵BH=OE，
∴BH=OE=$\frac{1}{2}$BC，
∵BM²=MH•MC，
∴$\frac{BM}{MC}=\frac{MH}{BM}$，
∴△BMH∽△CMB，
∴$\frac{MH}{MB}=\frac{BH}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴MB=2MH，
又∵AM=MB，
∴AM=2MH，
∴∠HAM=30°，
∴∠ACH=30°，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AM$，
∴AC=2AH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}AM$=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵OE=OC，
∴∠CEO=∠ECO，
∴tan∠CEO=tan∠ECO=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴若BH=OE，則tan∠CEO=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴結(jié)論③正確．

如圖2，延長HO交CE于點D，，
假設OH∥EM，
則$\frac{DH}{EM}=\frac{CH}{CM}$，
∵CM=EM，
∴CH=DH，
∵無法判斷CH=DH，
∴OH∥EM不成立，
∴結(jié)論④不正確．
綜上，可得
正確的結(jié)論的個數(shù)是2個：①③．
故選：B．

點評 （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
（3）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．