Question

18．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)解析式可得其解析式；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再由A、B坐標(biāo)可得直線解析式；
（3）作B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB=AB′最小，根據(jù)B的坐標(biāo)求得B′的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$，得：m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$，得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+5；

（3）作B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB=AB′最小，
∵B（4，1），
∴B′（4，-1），
設(shè)直線AB′的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{4m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{3}}\\{n=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
令y=0，得-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$=0，
解得x=$\frac{17}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{17}{5}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱-最短路線問題，掌握圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．