Question

8．如圖，已知原點O，A（0，4），B（2，0），將△OAB繞平面內(nèi)一點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使得旋轉(zhuǎn)后的三角形的兩個頂點恰好落在雙曲線y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）上，則旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A′O′=AO=4，O′B′=OB=2，因為A′和B′恰好落在雙曲線y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）上，設(shè)A′（m，-$\frac{6}{m}$），則B′（m+4，-$\frac{6}{m}$+2），根據(jù)反比例函數(shù)列式為：（m+4）（-$\frac{6}{m}$+2）=-6，求m的值，寫出A′和B′的坐標(biāo)，作輔助線，構(gòu)建兩全等三角形，根據(jù)A′G=PH，PG=AH，列方程組可得結(jié)論．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)得：△AOB≌△A′O′B′，
∴A′O′=AO=4，O′B′=OB=2，
設(shè)A′（m，-$\frac{6}{m}$），則B′（m+4，-$\frac{6}{m}$+2），
則（m+4）（-$\frac{6}{m}$+2）=-6，
m²+4m-12=0，
（m+6）（m-2）=0，
m₁=-6，m₂=2（舍），
∴A′（-6，1），B′（-2，3），
過P作GH∥x軸，交y軸于H，過A′作A′G⊥x軸，連接PA、PA′，
設(shè)P（x，y），
則A′G=1-y，PG=6+x，PH=-x，AH=4-y，
由旋轉(zhuǎn)得：AP=A′P，
易證明△PA′G≌△APH，
∴A′G=PH，PG=AH，
則$\left\{\begin{array}{l}{1-y=-x}\\{6+x=4-y}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，本題畫出圖出旋轉(zhuǎn)后的三角形確定點P的位置是關(guān)鍵，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為直角構(gòu)建全等三角形解決問題．