Question

6．如圖，⊙O與正八邊形ABCDEFGH的邊AH，EF相切于點(diǎn)A，E．若⊙O的半徑為4，則劣弧$\widehat{AE}$的長(zhǎng)為3π．

Answer 1

分析 連接OA、OE，由切線的性質(zhì)得出∠OAE=∠OEF=90°，求出正八邊形的內(nèi)角∠H=∠G=∠F=135°，由六邊形內(nèi)角和求出∠AOE的度數(shù)，再由弧長(zhǎng)公式即可得出劣弧$\widehat{AE}$的長(zhǎng)．

解答 解：連接OA、OE，如圖所示：
∵⊙O與AH，EF相切于點(diǎn)A，E，
∴AH⊥OA，EF⊥OE，
∴∠OAE=∠OEF=90°，
∵在正八邊形ABCDEFGH中，∠H=∠G=∠F=（8-2）×180°÷8=135°，
∴∠AOE=（6-2）×180°-90°-90°-3×135°=135°，
∴劣弧$\widehat{AE}$的長(zhǎng)=$\frac{135×π×4}{180}$=3π；
故答案為：3π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和定理、弧長(zhǎng)公式；熟練掌握切線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理，通過(guò)作輔助線求出∠AOE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．