Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切．
（2）若AE=7，BF=1，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，先證明OD∥AB，則由DF⊥AB可判斷DF⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理可得直線DF與⊙O相切；
（2）先確定EF=FB=1，推出AB=9，即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OC=OD，
∴∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥OD，
∴直線DF與⊙O相切；

（2）解：∵∠DEB+∠AED=180°，∠AED+∠C=180°，
∴∠DEB=∠C=∠B，
∴DE=DB，
∵DF⊥EB，
∴BF=EF=1，
∵AE=7，
∴AB=AE+BE=9，
∴AC=AB=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．