Question

14．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處，折痕為EF．
（1）若∠EFC′=115°，求∠ABE的度數(shù)；
（2）求證：AE=C′F．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊得出∠EFC=∠EFC′=115°，∠DEF=∠BEF，求出∠EFB=65°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BEF=∠BFE=65°，即可求出答案；
（2）AB=DC=BC′，∠A=∠D=90°，∠D=∠EBC′=90°，∠C=∠C′=90°，DE=BC′，求出∠ABE=∠C′BF，推出△ABE≌△C′BF即可．

解答 （1）解：∵∠EFC′=115°，
∴根據(jù)折疊得：∠EFC=∠EFC′=115°，∠DEF=∠BEF，
∴∠EFB=180°-∠EFC=65°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BEF=∠BFE=65°，
∴∠AEB=180°-65°-65°=50°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠ABE=90°-∠AEB=40°；

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，將長方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處，折痕為EF，
∴AB=DC=BC′，∠A=∠D=90°，∠D=∠EBC′=90°，∠C=∠C′=90°，DE=BC′，
∴∠ABC=∠EBC′=90°，
∴∠ABE=∠C′BF=90°-∠EBF，
在△ABE和△C′BF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C′}\\{∠ABE=∠C′BF}\\{AB=BC′}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△C′BF，
∴AE=C′F．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．