Question

15．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點(diǎn)，BC交⊙O于D點(diǎn)，CD=BD，C=70°．現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE•AB=2BD²．其中正確結(jié)論的序號是②④．

Answer 1

分析 連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，加上CD=BD，則可判斷△ABC為等腰三角形，于是可對（2）進(jìn)行判斷；由于∠ABC=∠C=70°，則∠BAC=40°，則可對（1）進(jìn)行判斷，加上∠AEB=90°，所以∠ABE=50°，則可對（3）進(jìn)行判斷；連結(jié)ED，如圖，證明△CED∽△CBA，利用相似比可對（4）進(jìn)行判斷．

解答 解：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而CD=BD，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AC=AB，所以（2）正確．
∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-2×70°=40°，所以（1）錯(cuò)誤，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=50°，
∴AE＞BE，所以（3）錯(cuò)誤；
連結(jié)ED，如圖，
∵∠CED=∠ABC，∠ECD=∠BCA，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，
即CE•CA=CD•CB，
∵CA=AB，BD=CD，
∴CE•AB=2BD²，所以（4）正確．
故答案為（2）、（4）．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．