Question

4．在學(xué)習(xí)了正方形后，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)對(duì)正方形進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C重合），點(diǎn)F在線段AE上，過點(diǎn)F的直線MN⊥AE，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．此時(shí)，有結(jié)論AE=MN，請(qǐng)進(jìn)行證明；
（2）如圖2：當(dāng)點(diǎn)F為AE中點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，連接正方形的對(duì)角線BD，MN 與BD交于點(diǎn)G，連接BF，此時(shí)有結(jié)論：BF=FG，請(qǐng)利用圖2做出證明．
（3）如圖3：當(dāng)點(diǎn)E為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如果（2）中的其他條件不變，直線MN分別交直線AB、CD于點(diǎn)M、N，請(qǐng)你直接寫出線段AE與MN之間的數(shù)量關(guān)系、線段BF與FG之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形PMND，再證明△ABE≌△DAP，即可得出結(jié)論；
（2）連接AG、EG、CG，構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明AG=EG=CG，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得∠AGE=90°，在Rt△ABE 和Rt△AGE中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=$\frac{1}{2}$AE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AE，則BF=FG；
（3）①AE=MN，證明△AEB≌△NMQ；
②BF=FG，同理得出BF和FG分別是直角△AEB和直角△AGE斜邊上的中線，則BF=$\frac{1}{2}$AE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AE，所以BF=FG．

解答 證明：（1）在圖1中，過點(diǎn)D作PD∥MN交AB于P，則∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90°，
∴四邊形PMND是平行四邊形且PD=MN，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵M(jìn)N⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴AE=PD=MN；       
（2）在圖2中，連接AG、EG、CG，
由正方形的軸對(duì)稱性△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵M(jìn)N⊥AE于F，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，
∴AG=EG，
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由圖可知∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
又∵四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE為斜邊，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AE，
∴BF=FG；                    
（3）①AE與 MN的數(shù)量關(guān)系是：AE=MN，理由是：
如圖3，過N作NQ⊥AB于Q，
∵∠NMQ=∠AMF，∠AMF=∠AEB，
∴∠AEB=∠NMQ，
∵AB=BC=QN，∠ABE=∠NQM=90°，
∴△AEB≌△NMQ，
∴AE=MN；
②BF與FG的數(shù)量關(guān)系是：BF=FG，
理由是：如圖4，連接AG、EG、CG，
同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，
∵∠GCE+∠GCD=90°，
∴∠GAD+∠GEC=90°，
∵AD∥EC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE為斜邊，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AE，
∴BF=FG．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，在有中點(diǎn)和直角三角形的前提條件下，可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來證明兩條線段相等．