Question

7．在等腰直角△ABC的斜邊AB所在的直線上，有點(diǎn)P滿足S=AP²+BP²，則（　�。�

• A． 對(duì)P有無(wú)限多個(gè)位置，使得S＜2CP²
• B． 對(duì)P有有限多個(gè)位置，使得S＜2CP²
• C． 當(dāng)且僅當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，或者P與頂點(diǎn)A，B之一有重合時(shí)，才有S=2CP²
• D． 對(duì)直線AB上的所有點(diǎn)P，總有S=2CP²

Answer 1

分析 此題分兩種情況討論：①當(dāng)P在線段AB上，②當(dāng)P在直線AB上（線段AB以外的部分）；可利用勾股定理來(lái)探討符合要求的點(diǎn)P有哪些．

解答 解：當(dāng)P為AB上時(shí)，假設(shè)P為中點(diǎn)時(shí)，AP=PB=PC，滿足條件，
當(dāng)點(diǎn)P不為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，亦滿足條件；
當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，
即k=2CP²；
同理，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，S=2CP²．
綜上可知：S=2CP²．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解法并不復(fù)雜，難點(diǎn)在于將問(wèn)題考慮全面．