Question

20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥BC，垂足是N，連結(jié)AN，NP，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：

（1）若AD=6cm，CD=2cm，∠B=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACDM是平行四邊形？
（2）在（1）的條件下，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANPM是平行四邊形？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AQ、MD，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）根據(jù)已知條件得出BN=MN，再根據(jù)BM=AB+AM，由邊形ABCD是平行四邊形，AP∥BC，當(dāng)四邊形ANPM是平行四邊形時(shí)，得到PN∥AM，PN=AM，于是證得PN∥AB，又因?yàn)锳P∥BN，得到四邊形ABNP是平行四邊形，PN=AB=2，BN=AP=3t，由勾股定理得出BN=MN=3t，由勾股定理得出結(jié)果．

解答 解：（1）如圖1（1）連結(jié)AC、MD，
∵當(dāng)AP=PD時(shí)，四邊形ACDM是平行四邊形，
∴3t=6-3t，
解得：t=1，
∴t=1s時(shí)，四邊形ACDM是平行四邊形；

（2）如圖2∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AP∥BC，
當(dāng)四邊形ANPM是平行四邊形時(shí)，
PN∥AM，PN=AM，
∴PN∥AB，∵AP∥BN，
∴四邊形ABNP是平行四邊形，
∴PN=AB=2，BN=AP=3t，
∴AM=2，BM=3$\sqrt{2}$t，
∴$3\sqrt{2}t$=4，解得t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
當(dāng)t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$s時(shí)，四邊形ABNP是平行四邊形．
若四邊形ANPM是平行四邊形，
則PN∥AM，PN=AN=CD，
∴AM平行且等于CD，
∴點(diǎn)P又為AD的中點(diǎn)，
∴3t=3，
∴t=1，
與當(dāng)t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$s時(shí)，四邊形ABNP是平行四邊形相矛盾，
∴四邊形ANPM不是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題，有一定難度．