Question

15．如圖，正方形ABCD中，C（-3，0），D（0，4）．過B點作x軸的垂線交過A點的反比例函數(shù)圖象于E點，交x軸于G點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點E的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使△PEC是等腰三角形？若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根據(jù)“AAS”證明△CDO≌△DAF；由于△CDO≌△DAF，根據(jù)全等的性質(zhì)得AF=OD=4，DF=OC=3，則A點坐標(biāo)為（-4，7），再利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{28}{x}$；
（2）結(jié)合（1）中的方法一樣可證明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，則得到E點的橫坐標(biāo)為-7，然后利用反比例函數(shù)解析式可確定E點坐標(biāo)；
（3）分別利用當(dāng)EP₁=EC=4$\sqrt{2}$，當(dāng)CP₂=EC=4$\sqrt{2}$，當(dāng)EP₃=P₃C=4$\sqrt{2}$，當(dāng)EC=CP₄=4$\sqrt{2}$，進(jìn)而分別得出符合題意的答案．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AF⊥y軸于點F，
∵C（-3，0），D（0，4），
∴OC=3，OD=4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y軸，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDO，
在△CDO和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOC=∠AFD}\\{∠CDO=∠DAF}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△DAF（AAS），
∴AF=OD=4，DF=OC=3，
∴OF=OD+DF=3+4=7，
∴A點坐標(biāo)為（-4，7），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
把A（-4，7）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-4×7=-28，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{28}{x}$；

（2）如圖1，
與（1）中的方法一樣可證明△CDO≌△BGC，
則CG=OD=4，
故OG=OC+CG=7，
則E點的橫坐標(biāo)為-7，
把x=-7代入y=-$\frac{28}{x}$得y=4，
故E點坐標(biāo)為（-7，4）；

（3）如圖2，∵C（-3，0），E（-7，4），
∴EG=GC=4，
∴EC=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)EP₁=EC=4$\sqrt{2}$，則P₁G=GC=4，故P₁（-11，0）；
當(dāng)CP₂=EC=4$\sqrt{2}$，則P₂（-3-4$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)EP₃=P₃C=4$\sqrt{2}$，則設(shè)P₃C=x，則EP₃=x，故在Rt△EGP₃中，
EG²+GP${\;}_{3}^{2}$=EP${\;}_{3}^{2}$，
即4²+（4-x）²=x²，
解得：x=4，即P₃與G點重合，故P₃（-7，0）；
當(dāng)EC=CP₄=4$\sqrt{2}$，則P₄（4$\sqrt{2}$-3，0）；
綜上所述：符合題意的點的坐標(biāo)為：（-11，0）；（-3-4$\sqrt{2}$，0）；（-7，0）；（4$\sqrt{2}$-3，0）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．