Question

8．如圖，O為矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足OB=OD，若O點(diǎn)到A點(diǎn)的距離用m表示，OB=n，試用含m、n的代數(shù)式表示OC=$\sqrt{2{n}^{2}-{m}^{2}}$．

Answer 1

分析 過O作EF⊥AD于E，交BC于F；過O作GH⊥DC于G，交AB于H，設(shè)BF=x，CF=y，根據(jù)勾股定理求出n²-x²=OC²-y²，m²-x²=n²-y²，相減即可求出答案．

解答 解：如圖，過O作EF⊥AD于E，交BC于F；過O作GH⊥DC于G，交AB于H，
設(shè)BF=x，CF=y，
所以AE=x，DE=y，
所以O(shè)F²=OB²-BF²=OC²-CF²
即n²-x²=OC²-y²（1），
同理：OE²=n²-y²=m²-x²，
即m²-x²=n²-y²（2），
（1）-（2）得（n²-x²）-（m²-x²）=（OC²-y²）-（n²-y²），
解得：OC²=2n²-m²
所以O(shè)C=$\sqrt{2{n}^{2}-{m}^{2}}$，
故答案為：$\sqrt{2{n}^{2}-{m}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并根據(jù)勾股定理得出（1）（2），有一定的難度．