Question

7．如圖，斜坡AB的長(zhǎng)為10$\sqrt{3}$米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，小明站在斜坡頂端A處測(cè)得河對(duì)面大樓CD的樓頂點(diǎn)C的仰角為30°，測(cè)得點(diǎn)C在河中的倒影C′的俯角為53°，如果小明的眼睛E到點(diǎn)A的距離為1.70米，試求大樓CD的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)tan53°≈1.33，sin53°≈0.80，cos53°=0.60，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 如圖，延長(zhǎng)EA交BD于H，則EH⊥BD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于F．構(gòu)建直角△EFC和直角△EFC′，通過(guò)解這兩個(gè)直角三角形來(lái)求CD的長(zhǎng)度．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)EA交BD于H，則EH⊥BD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于F．
∵斜坡AB的長(zhǎng)為10$\sqrt{3}$米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\sqrt{3}$，則∠ABH=60°，
∴AH=AB•sin60°=10$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15（米）．
又E到點(diǎn)A的距離為1.70米，
∴EH=FD=16.7米．
設(shè)CD=x，則C′D=x，
在直角△EFC中，∠CEF=30°，則EF=CF•cot30°=$\sqrt{3}$CF=$\sqrt{3}$（x-16.7）．
在直角△EFC′中，∠CEF=53°，則EF=$\frac{C′F}{tan53°}$=$\frac{x+16.7}{tan53°}$，
∴$\sqrt{3}$（x-16.7）=$\frac{x+16.7}{tan53°}$，即1.73（x-16.7）=$\frac{x+16.7}{1.33}$．
解得 x≈42.4．
答：大樓CD的高度約為42.4米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解．