Question

14．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB=4，P是拋物線上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為-2，∠PAO=45°，cot∠PBO=$\frac{7}{3}$，求：
（1）P，A，B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）拋物線的表達(dá)式；
（3）在拋物線上求一點(diǎn)Q，使S_△QAB=2S_△PAB．

Answer 1

分析 （1）作PC⊥x軸于C，根據(jù)等腰三角形的判定得到PC=AC，根據(jù)正切的定義求出PC，得到P、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)Q的縱坐標(biāo)為m，根據(jù)已知條件列方程得到m=±6，由于拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{56}$，得到m=-6（不合題意，舍去），當(dāng)m=6時(shí)，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作PC⊥x軸于C，
∵∠PAO=45°，
∴PC=AC，
由cot∠PBO=$\frac{7}{3}$得，$\frac{BC}{PC}$=$\frac{7}{3}$，即$\frac{4+AC}{PC}$=$\frac{7}{3}$，
解得，PC=AC=3，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，AB=4，
∴OA=1，OB=5，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）、點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）、B點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）；
（2）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=3}\\{a+b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{7}}\\{b=-\frac{5}{7}}\\{c=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
則拋物線的表達(dá)式為y=$\frac{2}{7}$x²-$\frac{5}{7}$x+$\frac{3}{7}$；
（3）設(shè)Q的縱坐標(biāo)為m，
∵S_△QAB=2S_△PAB．
∴$\frac{1}{2}$×4×|m|=2×$\frac{1}{2}$×4×3，
∴m=±6，
∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{56}$，
∴m=-6（不合題意，舍去），
當(dāng)m=6時(shí)，即$\frac{2}{7}$x²-$\frac{5}{7}$x+$\frac{3}{7}$=6，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{337}}{4}$，
∴Q（$\frac{5+\sqrt{337}}{4}$，6），或（$\frac{5-\sqrt{337}}{4}$，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)、解直角三角形、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握銳角三角函數(shù)的定義、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．