Question

8．已知A（-2，3），B（-4，6），在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，0）；在y軸上找一點(diǎn)Q，使BQ-AQ最大，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）．

Answer 1

分析 找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與x軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，再根據(jù)點(diǎn)P在x軸上的位置得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；連接AB與y軸交于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)即為所求，再根據(jù)Q點(diǎn)在y軸上的位置得出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：①找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)PA=PA′，PA+PB=PA′+PB=A′B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則A′B就是PA+PB最小值．
∵A（-2，3），
∴A′（-2，-3），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-3}\\{-4k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{2}}\\{b=-12}\end{array}\right.$
∴直線A′B的解析式為y=-$\frac{9}{2}$x-12．
令y=0，則0=-$\frac{9}{2}$x-12．解得x=-$\frac{8}{3}$，
∴P（-$\frac{8}{3}$，0）；
②連接AB交y軸于Q，此時(shí)BQ-AQ=AB，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，則AB就是BQ-AQ最大值；
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{-4m+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x，
∴Q（0，0）．
故答案為（-$\frac{8}{3}$，0）、（0，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．