Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，對角線AC、BD交于點O，點E在AB延長線上，聯(lián)結(jié)CE，AF⊥CE，AF分別交線段CE、邊BC、對角線BD于點F、G、H（點F不與點C、E重合）．
（1）當點F是線段CE的中點，求GF的長；
（2）設(shè)BE=x，OH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當△BHG是等腰三角形時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理得出AC的長，證得△ACF≌△AEF，得出BE=2，進一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性質(zhì)得出CF、CG的長，利用勾股定理求得而答案即可；
（2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分別為M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之間的聯(lián)系，進一步整理得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)y=0，得出x的定義域即可；
（3）分三種情況探討：①當BH=BG時，②當GH=GB，③當HG=HB，分別探討得出答案即可．

解答 解：（1）∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=∠AFE=90°，
∵點F是線段CE的中點，
∴CF=EF，
在△ACF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=EF}\\{∠AFC=∠AFE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△AEF，
∴AE=AC=10，
∴BE=2，
∵∠CGF=∠AGB，∠GFC=∠ABG，
∴∠FCG=∠GAB，∠CBE=∠ABG，
∴△CBE∽△ABG，
∴$\frac{CB}{AB}$=$\frac{BE}{BG}$，
即$\frac{6}{8}$=$\frac{2}{BG}$，
BG=$\frac{8}{3}$，
∴CG=$\frac{10}{3}$，
∵∠GCF=∠BCE，∠CFG=∠CBE，
∴△CGF∽△CBE，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{CG}{CE}$，
又CE=2CF，
∴2CF²=BC•CG，
∴CF=$\sqrt{10}$，
∴GF=$\sqrt{C{G}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
（2）如圖，

作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分別為M、N，
∵AF⊥CE，
∴ON∥BM∥CE，
∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，
∴$\frac{ON}{BM}$=$\frac{OH}{HB}$=$\frac{y}{5-y}$，$\frac{ON}{CF}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BM}{CF}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{BG}{6-GB}$，
∴$\frac{5-y}{2y}$=$\frac{BG}{6-GB}$，
又∵△CBE∽△ABG，
∴$\frac{CB}{AB}$=$\frac{BE}{BG}$，BE=x，
∴BG=$\frac{4}{3}$x，
∴$\frac{5-y}{2y}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{4}{3}x}$，
則y=$\frac{45-10x}{2x+9}$（0＜x＜$\frac{9}{2}$）．
（3）當△BHG是等腰三角形，
①當BH=BG時，△AHD∽△BHG，$\frac{BH}{HD}$=$\frac{BG}{AD}$，則5+y=6，y=1，由y=$\frac{45-10x}{2x+9}$，解得x=3；
②當GH=GB，△GBH∽△OBC，同理解得x=$\frac{7}{4}$；
③當HG=HB，得出∠HGB=∠HBG=∠OCB不存在．
所以BE=3或$\frac{7}{4}$．

點評 此題綜合考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，知識設(shè)計的面廣，需要多方位思考解決問題，滲透分類討論的思想．