Question

17．如圖1，點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC．
（1）設(shè)AC=2，
①求AB的長；
填空：設(shè)AB=x，則BC=2-x
∵點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，可列方程為$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，
解得方程的根為x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$，于是，AB的長為-1+$\sqrt{5}$．
②在線段AC（如圖1）上利用三角板和圓規(guī)畫出點B的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若m、n為正實數(shù)，t是關(guān)于x的方程x²+2mx=n²的一正實數(shù)根，
①求證：（t+m）²=m²+n²；
②若兩條線段的長分別為m、n（如圖2），請畫出一條長為t的線段（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

分析 （1）若點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC，則$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，設(shè)AB=x，則BC=2-x代入求值即可．
（2）①利用勾股定理畫出$\sqrt{5}$，再在長為$\sqrt{5}$的線段上截取長為1的線段，剩余部分就是$\sqrt{5}-1$．
②根據(jù)配方法解該方程的根即可，作圖與①雷同．

解答 解：（1）①設(shè)AB=x，則BC=2-x
∵點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，
可列方程為：$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，
解得：x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$，
∴AB的長為：-1+$\sqrt{5}$；
故答案為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$，-1+$\sqrt{5}$；
②作圖見下圖1：

（2）①證明：解關(guān)于x的方程x²+2mx=n²：
x²+2mx+m²=m²+n²
（x+m）²═m²+n²，
∵t是關(guān)于x的方程x²+2mx=n²的一正實數(shù)根，
∴（t+m）²=m²+n²；
②作圖見下圖

點評 本題考查了：黃金分割、解一元一次方程、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點的內(nèi)涵及其應(yīng)用方法．