Question

20．如圖①，四邊形ABCD是正方形，G為BC上任意一點（點G與B，C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．
（1）求證：△AED≌△DFC；
（2）如圖②，延長AE，交DC于H，連接AG，BH，交點為P．
①求證：AG⊥BH；
②當G為BC中點時，連接AF，求證：S_△AEF=4S_△DEH．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)正方形的特征，可得AD=DC，∠ADC=90°，然后判斷出∠EAD=∠FDC，即可證明△ADE≌△DCF．
（2）①首先判斷出△ADH≌△DCG，判斷出DH=CG，進而判斷出CH=BG；然后判斷出△ABG≌△BCH，即可判斷出∠BAG=∠CBH；最后判斷出∠APB=90°，即可判斷出AG⊥BH．
②首先根據(jù)三角形相似的判斷方法，判斷出△DEH∽△AEF，然后求出兩個三角形的相似比是多少；最后根據(jù)$\frac{{S}_{△DEH}}{{S}_{△AEF}}{=（\frac{1}{2}）}^{2}=\frac{1}{4}$，可得S_△AEF=4S_△DEH，據(jù)此判斷即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF⊥AE，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
在△AED和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFC}\\{AD=DC}\\{∠EAD=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC（SAS）．

（2）①證明：在△ADH和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠DCG}\\{AD=DC}\\{∠DAH=∠CDG}\end{array}\right.$
∴△ADH≌△DCG（SAS），
∴DH=CG，
∵CD=BC，
∴CH=BG，
在△ABG和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠BCH}\\{BG=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCH（SAS），
∴∠BAG=∠CBH，
∵∠CBH+∠ABP=90°，
∴∠BAG+∠ABP=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴AG⊥BH．

②證明：當G為BC中點時，
可得CH=BG=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD$，
∴H為CD的中點，
∵CF∥AE，
∴DE=EF，
設DH=a，則AD=2a，
則tan∠CDG=tan∠DAH=$\frac{1}{2}$，
在△DEH和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEH=∠AEF}\\{∠EDH=∠EAF}\end{array}\right.$，
∴△DEH∽△AEF（AA），
∴$\frac{{S}_{△DEH}}{{S}_{△AEF}}{=（\frac{1}{2}）}^{2}=\frac{1}{4}$，
∴S_△AEF=4S_△DEH．

點評 （1）此題主要考查了正方形的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角； ③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握全等三角形的判定方法．
（3）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握相似三角形的判定方法．