Question

12．我們知道：對于任何實數(shù)，①∵x²≥0，∴x²+1＞0；②∵（x-$\frac{1}{3}$）²≥0，∴（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{2}$＞0．
模仿上述方法解答：
（1）求證：①對于任何實數(shù)x，均有2x²+4x+3＞0；
②求證：不論x為何實數(shù)，多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-7的值；
（2）當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，判斷三條線段m²-2m-3、m²-4、m²+2m-3能否作為同一個三角形的三邊長？說明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用配方法與非負數(shù)的性質(zhì)證明即可；
②利用求差法證明：計算3x²-5x-1-（2x²-4x-7）=x²-x+6，配方得到（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{23}{4}$，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行證明；
（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，把三條線段中的任意兩條相加后與第三條線段比較大小，比較大小的方法與（1）一樣，若滿足三條線段中的任意兩條相加后都大于第三條線段，則可判斷三條線段可作為三角形的三條邊．

解答 （1）①證明：2x²+4x+3=2（x+1）²+1，
∵（x+1）²≥0，
∴2（x+1）²+1＞0，
即對于任何實數(shù)x，均有2x²+4x+3＞0；
②證明：3x²-5x-1-（2x²-4x-7）=x²-x+6
=x²-x+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$+6
=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{23}{4}$，
∵（x-$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{23}{4}$＞0，
即3x²-5x-1＞2x²-4x-7；
（2）解：∵m²-2m-3+m²-4-（m²+2m-3）=m²-4m-4=（m-2）²-8，
而m≥5，
∴（m-2）²-8＞0，即m²-2m-3+m²-4＞m²+2m-3；
∵m²-2m-3+m²+2m-3-（m²-4）=m²-2，
而m≥5，
∴m²-2，即m²-2m-3+m²+2m-3＞m²-4；
∵m²-4+m²+2m-3-（m²-2m-3）=m²+4m-4=（m+2）²-8，
而m≥5，
∴（m+2）²-8＞0，即m²-4+m²+2m-3＞m²-2m-3，
∴三條線段m²-2m-3、m²-4、m²+2m-3能作為三角形的三條邊．

點評 本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值（二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方）．也考查了非負數(shù)的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系．