Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+2過B（-2，6），C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）記拋物線頂點(diǎn)為D，求△BCD的面積；
（2）若直線y=-$\frac{1}{2}$x向上平移b個(gè)單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點(diǎn)B、C）部分有兩個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式，然后把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)H，根據(jù)S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC即可解決問題．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$，當(dāng)方程組只有一組解時(shí)求出b的值，當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求出b的值，當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求出b的值，由此即可解決問題．

解答 解：（1）把B（-2，6），C（2，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=6}\\{4a+2b+2=2}\end{array}\right.$，
解這個(gè)方程組，得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x+2；
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x+2=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
∴頂點(diǎn)D（1，$\frac{3}{2}$），
∵B（-2，6），C（2，2），
∵直線BC為y=-x+4，
∴對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)H（1，3），
∴S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$）•3+$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$）•1=3．  

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-x+4-2b=0，
當(dāng)△=0時(shí)，直線與拋物線相切，1-4（4-2b）=0，
∴b=$\frac{15}{8}$，
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，b=3，
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，b=5，
∵直線y=-$\frac{1}{2}$x向上平移b個(gè)單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點(diǎn)B、C）部分有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴$\frac{15}{8}$＜b≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱軸與直線BC交點(diǎn)H坐標(biāo)，學(xué)會(huì)利用判別式確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，屬于中考�？碱}型．