Question

12．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 由于∠ABC=90°，BC=AB，則可以把△PAC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AP=2，BD=PC=3，∠PBD=90°，得到△APD為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PD=$\sqrt{2}$PA=2$\sqrt{2}$，∠DPB=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPD為直角三角形，然后利用∠APB=∠APD+∠DPB計(jì)算即可．

解答 解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，
∴BD=PC=3，AD=AP=2，∠PAD=90°，
∴△PAD為等腰直角三角形，
∴DP=$\sqrt{2}$PA=2$\sqrt{2}$，∠DPA=45°，
在△BPD中，PB=2，PD=2$\sqrt{2}$，DB=3，
∵1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴AP²+PD²=BD²，
∴△BPD為直角三角形，
∴∠BPD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．