Question

5．正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)P是CD上的一點(diǎn)，CE⊥BP垂足為E，EF⊥AE與邊BC交于點(diǎn)F
（1）求證：△FCE∽△ABE；
（2）當(dāng)△ABE的周長(zhǎng)是△FCE周長(zhǎng)2倍時(shí)，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEB=∠FEC，由正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BCD=90°，根據(jù)同角的余角相等得到∠ECF=∠BPC，由平行線的性質(zhì)得到∠ABE=∠BPC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{CE}=2$，通過(guò)△CPE∽△BCE，得到$\frac{CP}{BC}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CE⊥BP，EF⊥AE，
∴∠AEB+∠BEF=∠BEF+∠FEC，
∴∠AEB=∠FEC，
正方形ABCD中，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EPC+∠ECP=∠BCE+∠ECP=90°，
∴∠ECF=∠BPC，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BPC，
∴∠ABE=∠ECF，
∴△ABE∽△CEF；

（2）∵△ABE∽△CEF，△ABE的周長(zhǎng)是△FCE周長(zhǎng)2倍，
∴$\frac{BE}{CE}=2$，
∵∠CBE=∠ECP，∠BEC=∠CEP，
∴△CPE∽△BCE，
∴$\frac{CP}{BC}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=AB=8，
∴CP=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．