Question

12．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（4，0），C（4，4），CD⊥y軸于點(diǎn)D，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作CE⊥直線l于點(diǎn)E，將直線CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交直線l于點(diǎn)F，連接BF．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②通過(guò)觀察、測(cè)量，同學(xué)們得到了關(guān)于直線BF與直線l的位置關(guān)系的猜想，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想；
③通過(guò)思考、討論，同學(xué)們形成了證明該猜想的幾種思路：
思路1：作CM⊥CF，交直線l于點(diǎn)M，可證△CBF≌△CDM，進(jìn)而可以得出∠CFB=45°，從而證明結(jié)論．
思路2：作BN⊥CE，交直線CE于點(diǎn)N，可證△BCN≌△CDE，進(jìn)而證明四邊形BFEN為矩形，從而證明結(jié)論．
…
請(qǐng)你參考上面的思路完成證明過(guò)程．（一種方法即可）
解：（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），
（2）①補(bǔ)全圖形，
②直線BF與直線l的位置關(guān)系是BF⊥直線l，
③證明：

Answer 1

分析 （1）由C（4，4），CD⊥y軸于D，即可推出D（0，4）；
（2）①畫(huà)出圖形即可．
②結(jié)論：BF⊥直線l．
③證法一：如圖2中，作CM⊥CF交直線l于M．想辦法證明△CBF≌△CDM即可解決問(wèn)題；
證法二：如圖3中，作BN⊥CE于N．只要證明四邊形EFBN是矩形即可；

解答 解：（1）∵C（4，4），CD⊥y軸于D．
∴D（0，4）．
故答案為（0，4）．

（2）①補(bǔ)全的圖形如圖1所示，

②結(jié)論：BF⊥直線l．
③證明：方法一：如圖2中，作CM⊥CF交直線l于M．

∵B（4，0），C（4，4），D（0，4），
∴OB=BC=DC=OD=4，∠BCD=90°，
∵CE⊥直線l，CM⊥CF，∠ECF=45°，
∴△CEF，△CEM都是等腰直角三角形，
∴∠CMD=∠CFE=45°，
∴CF=CM，
∵○FCM=○DCB，
∴∠DCM=∠FCB，∴CD=BC，
∴△CBF≌△CDM，
∴∠CFB=∠CMD=45°，
∴∠BFE=∠CFB+∠CFE=90°，
∴BF⊥直線l．

方法二：如圖3中，作BN⊥CE于N．

∵∠CED=∠BNC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，∵BC=CD，
∴△BCN≌△CDE，
∴BN=CE，
∵EF=EC，
∴EF=BN，∵BN∥EF，
∴四邊形EFBN是平行四邊形，
∵∠FEN=90°，
∴四邊形EFBN是矩形，
∴∠EFB=90°，
∴NF⊥直線l．
故答案為BF⊥直線l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題．正方形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．