Question

7．如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D．
（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度數(shù)；
（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出∠D、∠A的等式，推出∠A=2∠D，最后代入求出即可；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE-∠DBC），∠D=∠DCE-∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵∠ABC=75°，∠ACB=45°，
∴∠A=60°，
∴∠D=30°；

（2）∠D=$\frac{1}{2}$（∠M+∠N-180°）；
理由：延長(zhǎng)BM、CN交于點(diǎn)A，
則∠A=∠BMN+∠CNM-180°，
由（1）知，∠D=$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠D=$\frac{1}{2}$（∠M+∠N-180°）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠A=2∠D．