Question

12．如圖，A是反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，以O(shè)A為斜邊作等腰直角△ABO，將△ABO繞點(diǎn)O以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，得到△A₁B₁O，若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)B₁，則k的值是-2．

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B₁作BF⊥y軸于點(diǎn)F，則可證明△OB₁F∽△OAE，設(shè)A（m，n），B₁（a，b），根據(jù)三角形相似和等腰三角形的性質(zhì)求得m=$\sqrt{2}$b．n=-$\sqrt{2}$a，再由反比例函數(shù)k的幾何意義，可得出k的值．

解答 解：過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B₁作BF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵等腰直角△ABO繞點(diǎn)O以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，
∴∠AOB₁=90°，
∴∠OB₁F=∠AOE，
∵∠OFB₁=AEF=90°，
∴△OB₁F∽△OAE，
∴$\frac{{B}_{1}F}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{O{B}_{1}}{OA}$，
設(shè)A（m，n），B₁（a，b），
∵在等腰直角三角形OAB中，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OB=OB₁，
∴$\frac{-a}{n}$=$\frac{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m=$\sqrt{2}$b．n=-$\sqrt{2}$a，
∵A是反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，
∴mn=4，
∴-$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=4，解得ab=-2．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)B₁，
∴k=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義是本題的關(guān)鍵．