Question

3．已知：△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)．
（1）如圖1，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：BE+CF=$\frac{1}{2}$AC；
（2）如圖2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，AM⊥AB交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AF于點(diǎn)N，且DM=6，AE：CF=1：3．求線段NF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)△ABC是等邊三角形，可得∠B=∠C=60°，然后根據(jù)DE⊥AB，DF⊥AC，判斷出∠EDB=∠FDC=30°，即可判斷出BE=$\frac{1}{2}$BD，CF=$\frac{1}{2}$CD，所以BE+CF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$AC，據(jù)此判斷即可；
（2）先求得等邊三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)△AEM∽△CFD對(duì)應(yīng)邊成比例求得AM=$\frac{2}{3}$，進(jìn)而求得MC=$\frac{10}{3}$，作AF∥DE，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得AE=1，從而求得CF=3，在RT△CMN中，CN=$\frac{1}{2}$CM=2，即可求得NF=CF-CN=1．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EDB=∠FDC=90°-60°=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}（BD+CD）$=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}$AC．
（2）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AM⊥AB，
∴∠AMB=30°，
∴BM=2AB，
∵AB=BC，
∴CM=AB=BC，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DM=6，
∴BD=8，
∴AB=BC=AC=CM=4，DC=2，
∵∠EAM=∠EDF=120°，∠AME=∠DMF，
∴∠F=∠E，
∵∠EAM=∠DGF=120°，
∴△AEM∽△CFD，
∴$\frac{AM}{DC}$=$\frac{AE}{CF}$，
∵DC=2，AE：CF=1：3．
∴AM=$\frac{2}{3}$，
∵AC=4，
∴MC=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
作AF∥DE，
∴$\frac{FD}{DC}$=$\frac{AM}{MC}$，
即$\frac{FD}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴FD=$\frac{2}{5}$，
∴BF=2-$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{FD}{BF}$，
即$\frac{AE}{4}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{4}$，
∴AE=1，
∴CF=3，
∵∠MCN=60°，MN⊥AF，
∴CN=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴NF=CF-CN=3-2=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，30°角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．