Question

19．在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b和c是關(guān)于x的方程x²+mx+1-m=0的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 分a為等腰三角形的腰和底考慮：①當(dāng)a為腰時，將x=3代入原方程可求出m值，進而通過解一元二次方程求出b、c兩邊的長度，利用三角形三邊關(guān)系可確定此種情況符合題意，進而可求出△ABC的周長；②當(dāng)a為底時，由根的判別式△=0可求出m的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合b=c可求出b、c的長度，利用三角形三邊關(guān)系可確定此種情況符合題意，進而可求出△ABC的周長．綜上，即可得出結(jié)論．

解答 解：分以下兩種情況討論：
①當(dāng)a為等腰三角形的腰時，不妨設(shè)另一腰為b，即b=a=3，
∵b是關(guān)于x的方程x²+mx+1-m=0的實數(shù)根，代入得：m=-5，
原方程即為：x²-5x+6=0，
解得：x₁=2，x₂=3．
∵b=3，c=2，a=3符合題意，
∴△ABC的周長為8．
②當(dāng)a為等腰三角形的底時，有b=c，
∵b和c是關(guān)于x的方程x²+mx+1-m=0的實數(shù)根，
∴△=m²-4（1-m）=0，
解得：m₁=2$\sqrt{2}$-2，m₂=-2$\sqrt{2}$-2．
由根與系數(shù)關(guān)系得：b+c=-m，
∴b+c=2$\sqrt{2}$+2或b+c=2-2$\sqrt{2}$＜0（舍去），
∴b=c=$\sqrt{2}$+1．
∵b=c=$\sqrt{2}$+1，a=3符合題意，
∴△ABC的周長為2$\sqrt{2}$+2+3=2$\sqrt{2}$+5．
綜上所述：△ABC的周長為8或2$\sqrt{2}$+5．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解、三角形三邊關(guān)系以及根的判別式，分a為等腰三角形的腰和a為等腰三角形的底兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．