Question

8．請你求出$\sqrt{1+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$的最小值為5．

Answer 1

分析 求$\sqrt{1+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$的最小值，也就是求$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-x）^{2}}$+$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-x）^{2}}$的最小值，如圖，建立平面直角坐標系，點P（0，x）是y軸上一點，則原式可以看成點P到點A（1，0）和點B（2，4）的長度之和，即PA+PB的最小值，利用軸對稱解答即可．

解答 解：∵求$\sqrt{1+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$的最小值，
也就是求$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-x）^{2}}$+$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-x）^{2}}$的最小值，
如圖，建立平面直角坐標系，點P（0，x）是y軸上一點，

∴$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-x）^{2}}$可以看成點P與點A（1，0）的距離，$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-x）^{2}}$可以看成點P與點B（2，4）的距離，
∴原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，
∵求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，
作BC⊥x軸于點C，
則BC=4、A′C=3，
∴A′B=5，即PA+PB的最小值為5，
故答案為：5．

點評 本題考查了軸對稱-最短距離問題、勾股定理，將代數(shù)問題轉化為幾何問題，正確的畫出圖形是解題的關鍵．