Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{4}{3}{x^2}$+$\frac{8}{3}$x-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，∠BAC的平分線與y軸交于點(diǎn)D（0，-$\frac{3}{2}$）且與拋物線相交于點(diǎn)Q，P是線段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，BF．
（1）如圖1，求線段AC的解析式；
（2）如圖1，求△BEF面積的取最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作平行于x軸的直線EK，F(xiàn)J，一動(dòng)點(diǎn)W從點(diǎn)B出發(fā)沿適當(dāng)?shù)穆窂降竭_(dá)直線EK上，再沿拋物線對(duì)稱軸所在方向到達(dá)直線FJ，最后再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處停止，求點(diǎn)W經(jīng)過(guò)的最短路徑的值；
（3）如圖2，以EF為邊，在它的右側(cè)作正方形EFGH，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)正方形EFGH也隨之運(yùn)動(dòng)和變化，當(dāng)正方形EFGH的頂點(diǎn)G或頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，求正方形EFGH與△ABQ重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法來(lái)求直線AC的直線方程即可；
（2）如答圖2，在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)度；過(guò)點(diǎn)D作DI⊥AC于點(diǎn)I，構(gòu)建全等三角形△ADI≌△ADO（SSA）和Rt△CDI，利用全等三角形的性質(zhì)可以設(shè)DI=DO=m，則DC=OC-OD=4-m．所以根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的方程，借助于方程解題即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求得直線AD方程，由直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式和二次函數(shù)最值的求法來(lái)求△BEF面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；再利用平移的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短確定W的路徑的最小值．
（3）需要分類討論：①當(dāng)頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，如答圖3．設(shè)P（t，0），先想辦法列出方程求出t，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和正方形的邊長(zhǎng)；此時(shí)重疊部分是△EHM．②當(dāng)頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，如答圖4．重疊部分是四邊形EHNQ．根據(jù)S=S_△EHQ+S_△HNQ求解即可．

解答 解：（1）如答圖1，

拋物線的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x-4．
令x=0，則y=-4，
∴C（0，-4）．
令y=0，則 $\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x-4=0，
解得，x₁=-3，x₂=1．
∴A（-3，0），B（1，0）．
設(shè)直線AC所在直線解析式為：y=kx+b（k≠0），
將A（-3，0），C（0，-4）代入可得，$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
直線AC所在直線解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x-4；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DI⊥AC于點(diǎn)I，如答圖2．


∵A（-3，0），C（0，-4），
∴OA=3．
∴OC=4．
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵在△ADI與△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DIA=∠DOA=90°}\\{∠DAI=∠DAO}\\{DA=DA}\end{array}\right.$，
∴△ADI≌△ADO（SSA），
∴AI=AO=3，DI=DO．
設(shè)DI=DO=m，則DC=OC-OD=4-m．
∵IC=AC-AI，
∴IC=5-3=2．
在Rt△CDI中，∵ID²+IC²=DC²，
∴m²+2²=（4-m）²，
解得，m=$\frac{3}{2}$．
∴OD=$\frac{3}{2}$．
∴D（0，-$\frac{3}{2}$）．
設(shè)直線AD所在直線解析式為：y=kx+b（k≠0），
將A（-3，0），D（0，-$\frac{3}{2}$）代入可得，$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
直線AD所在直線解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
又∵直線AC的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x-4．
∴設(shè)P（n，0），則E（n，-$\frac{1}{2}$n-$\frac{3}{2}$），F(xiàn)（n，-$\frac{4}{3}$n-4），
∴BP=1-n，EF=（-$\frac{1}{2}$n-$\frac{3}{2}$）-（-$\frac{4}{3}$n-4）=$\frac{5}{6}$n+$\frac{5}{2}$，
∴S△BEF=$\frac{1}{2}$EF•BP=$\frac{1}{2}$（ $\frac{5}{6}$n+$\frac{5}{2}$）（1-n）=-$\frac{5}{12}$n2-$\frac{5}{6}$n+$\frac{5}{4}$（-3≤n≤1）．
∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=-1．
∴當(dāng)x=-1時(shí)，S_△BEF的最大值=$\frac{5}{3}$．
此時(shí)，P（-1，0）；E（-1，-1），F(xiàn)（-1，-$\frac{8}{3}$），
∴EF=$\frac{8}{3}$-1=$\frac{5}{3}$，
作BB′∥EF，BB′=EF，連接CB′交FJ于M，作MN⊥EK于N，連接BN，則W經(jīng)過(guò)的最短路徑B→N→M→C（答題圖2′中紅色線），

最短路徑長(zhǎng)=BN+MN+CM=B′M+CM+EF=CB′+EF=$\frac{5}{3}$+$\frac{\sqrt{58}}{3}$．

（3）由B（1，0），C（0，-4）可得直線BC的解析式為：y=4x-4．
①當(dāng)頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，如答圖3．重疊部分是△EHM．

設(shè)P（t，0），則E（t，-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$），F(xiàn)（t，-$\frac{4}{3}$t-4），G（-$\frac{1}{3}$t，-$\frac{4}{3}$t-4）．
∴EF=（-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$）-（-$\frac{4}{3}$t-4）=$\frac{6}{5}$t+$\frac{5}{2}$，F(xiàn)G=-$\frac{1}{3}$t-t=-$\frac{4}{3}$t．
∵EF=FG，
∴$\frac{5}{6}$t+$\frac{5}{2}$=-$\frac{4}{3}$t，
解得，t=-$\frac{15}{13}$．
∴FG=-$\frac{4}{3}$×（-$\frac{15}{13}$）=$\frac{20}{13}$．
∴頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，P（-$\frac{15}{13}$，0），正方形的邊長(zhǎng)為 $\frac{20}{13}$，G（$\frac{5}{13}$，-$\frac{32}{13}$），M（$\frac{5}{13}$，-$\frac{22}{13}$），
∴HM=$\frac{10}{13}$，EH=$\frac{20}{13}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{10}{13}$•$\frac{20}{13}$=$\frac{100}{169}$．

②當(dāng)頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，如答圖4．重疊部分是四邊形EHNQ．

設(shè)P（t，0），則E（t，-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$），F(xiàn)（t，-$\frac{4}{3}$t-4），H（-$\frac{1}{8}$t+$\frac{5}{8}$，-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$）．
∴EF=（-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$）-（-$\frac{4}{3}$t-4）=$\frac{5}{6}$t+$\frac{5}{2}$，EH=（-$\frac{1}{8}$t+$\frac{5}{8}$）-t=-$\frac{9}{8}$t+$\frac{5}{8}$．
∵EF=EH，
∴$\frac{5}{6}$t+$\frac{5}{2}$=-$\frac{9}{8}$t+$\frac{5}{8}$，
解得，t=-$\frac{45}{47}$．
∴EF=$\frac{5}{6}$×（-$\frac{45}{47}$）+$\frac{5}{2}$=$\frac{80}{47}$．
∴頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，P（-$\frac{45}{47}$，0），E（-$\frac{45}{47}$，-$\frac{48}{47}$），H（$\frac{35}{47}$，-$\frac{48}{47}$），正方形的邊長(zhǎng)為 $\frac{80}{47}$．
∵AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{8}}\\{y=-\frac{29}{16}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q（$\frac{5}{8}$，-$\frac{29}{16}$），
∴直線BQ解析式為y=$\frac{29}{6}$x-$\frac{29}{6}$，
∴N（$\frac{35}{47}$，-$\frac{58}{47}$）
∴S=S_△EHQ+S_△HNQ=$\frac{1}{2}$•（$\frac{35}{47}$+$\frac{45}{47}$）•（$\frac{29}{16}$-$\frac{48}{47}$）+$\frac{1}{2}$•（$\frac{35}{47}$-$\frac{5}{8}$）•（$\frac{58}{47}$-$\frac{48}{47}$）=$\frac{12125}{17672}$．

綜上所述，頂點(diǎn)G在線段BC上時(shí)，重疊部分面積為$\frac{100}{169}$，頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí)，重疊部分面積為$\frac{12125}{17672}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)最值的求法，勾股定理以及正方形的性質(zhì)，此題難度較大，對(duì)于有關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解答時(shí)，切記要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解．