Question

16．如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，A，B是大圓上任意兩點，過A，B作小圓的割線AXY和BPQ．求證：AX•AY=BP•BQ．

Answer 1

分析 作小⊙O的切線AM，BN，切點分別為M、N，連接AO，OM，BO，ON，根據(jù)切割線定理得出AM²=AX•AY，BN²=BP•BQ，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠AMO=∠BNO=90°，證Rt△AMO≌Rt△BNO，推出AM=BN即可．

解答 證明：如圖：

作小⊙O的切線AM，BN，切點分別為M、N，連接AO，OM，BO，ON，
則根據(jù)切割線定理得：AM²=AX•AY，BN²=BP•BQ，
∵小⊙O的切線AM，BN，切點分別為M、N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在Rt△AMO和Rt△BNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△AMO≌Rt△BNO（HL），
∴AM=BN，
∴AX•AY=BP•BQ．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，切割線定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，題目比較好．