Question

1．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)F，且∠ACD=60°，在AB的延長線上取一點(diǎn)E，使得∠AED=30°．
（1）求證：直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D；
（2）若圖中DE=$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分圖形的面積（結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）（備用數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.732，π≈3.142）

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)圓周角定理求得∠AOD=120°，從而求得∠EOD=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ODE=90°，即可證得結(jié)論；
（2）解直角三角形求得半徑OD，然后根據(jù)S_陰影=S_△ODE-S_扇形求得即可．

解答 （1）證明：連接OD，
∵∠ACD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴∠EOD=60°，
∵∠AED=30°，
∴∠ODE=90°，
∴直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D；
（2）解：在RT△ODE中，∠AED=30°，DE=$\sqrt{3}$，
∴OD=tag30°•ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$ED•OD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠BOD=60°，OD=1，
∴S_扇形=$\frac{60×π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，
∴S_陰影=S_△ODE-S_扇形=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$≈0.342．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，解正切函數(shù)，扇形的面積等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．