Question

12．如圖，直線l₁⊥l₂，垂足為O，點A、B分別在直線l₁和l₂上，∠OAB=30°，OB=2，以A為圓心，1為半徑畫圓，點P在圓A的圓周上運動，連接AP，過點P畫PA的垂線與線段AB相交于點C，與直線l₂相交于D，當AC=BC時，OD的長是1或4．

Answer 1

分析 根據l₁⊥l₂，∠OAB=30°，得到∠OBA=60°，AC=BC=2，由于AP⊥PD，于是得到∠APC=90°，又因為AP=1，得到∠ACP=∠BCD=30°，再根據直角三角形的性質即可得到果．

解答 解：∵l₁⊥l₂，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵OB=2，
∴AB=4，
∴AC=BC=2，
∵AP⊥PD，
∴∠APC=90°，
∵AP=1，
∴∠ACP=30°，
∴∠BCD=30°，
∴∠CDB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴OD=1，
如圖，同理∠ACP′=30°，
∴∠BCD′=30°，∵∠ABO=60°，
∴∠BD′C=30°，
∴∠BCD′=∠BD′C，
∴BD′=BC=2，
∴OD′=4，
故答案為：1或4．

點評 本題考查了直角三角形的性質，在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記直角三角形的性質是解題的關鍵．