Question

4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，經(jīng)過坐標(biāo)原點O的拋物線y=ax²+bx的頂點為A（2，4）
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx交x軸正半軸于點B，橫坐標(biāo)為m（m＞0）的點P為該拋物線上一動點，△POB的面積為S（S≠0），求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（直接寫出m的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，過點A作y軸的垂線，點C為垂足，作點C關(guān)于點B的對稱點C′，是否存在m值，使∠APC′=90°？若存在，求所有符合條件的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式，可得答案；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點坐標(biāo)，B點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（2）根據(jù)互相垂直的兩直線的比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）由頂點坐標(biāo)，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=2}\\{\frac{4ac-^{2}}{4a}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x=m時，y=-m²+4m，即P點坐標(biāo)為（m，-m²+4m），
當(dāng)y=0時，-x²+4x=0，解得x=0，x=4即B點坐標(biāo)為（4，0）；
S=$\frac{1}{2}$OB•y_P=$\frac{1}{2}$×4×（-m²+4m）=-2m²+8m；
（3）點C關(guān)于點B的對稱點C′，存在m值，使∠APC′=90°，
設(shè)P點坐標(biāo)為（m，-m²+4m），
如圖：

AC⊥y軸于C點，得C點坐標(biāo)為（0，4）．
由點C關(guān)于點B的對稱點C′，得C′點坐標(biāo)為（8，-4）．
由∠APC′=90°，得
k_AP•k_C′P=-1，
即$\frac{-{m}^{2}+4m-4}{m-2}$•$\frac{-{m}^{2}+4m+4}{m-8}$=-1，
化簡，得m³-6m²+5m=0．
解得m=0（不符合題意，舍），m=5，m=1
當(dāng)m=5時，y=-m²+4m=-5，即P（5，-5），
當(dāng)m=1時，y=-m²+4m=3，即P（1，3）．
綜上所述：P點坐標(biāo)為（1，3）或（5，-5）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用頂點坐標(biāo)求函數(shù)解析式；利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出P，B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用互相垂直的兩直線的比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)可得關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．