Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點F，交△ABC外接圓于點D，BC=6，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，點E是△ABC內切圓的圓心，則OE的長為5-$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 連接BE．依據(jù)三角形的內心的性質以及圓周角定理證明∠DBE=∠DEB，得出BD=DE；連接OB．先證明圓周角定理和三角形的內心的性質可知∠BAC=∠BOF，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得OB的長，然后依據(jù)勾股定理可求得OF的長于是得到DF的長，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的長，依據(jù)問題（1）的結論可得到DE的長，從而求得OE的長．

解答 解：連接BE、OB．如圖所示：
∵是△ABC的內心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
∵AD⊥BC，
∴BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，BF=3，
∴OF=4，
∴OB=5，
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF²+DF²=BD²．
∴BD=$\sqrt{10}$．
∴DE=$\sqrt{10}$．
∴OE=5-$\sqrt{10}$；
故答案為：5-$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查的是三角形的內心的性質、勾股定理的應用、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得OB的長度是解題的關鍵．