Question

19．如圖，已知直線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c交x軸于點(diǎn)C（-1，0）．
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）拋物線(xiàn)在x軸上方部分是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積是△ABO的2倍？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，試求出能使△ACP的面積最大時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式；
（3）設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）（-1＜t＜4），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（4+1）•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=2•$\frac{1}{2}$•2•4，由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，于是可判斷拋物線(xiàn)在x軸上方部分不存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積是△ABO的2倍，然后把拋物線(xiàn)解析式配成頂點(diǎn)式即可得到使△ACP的面積最大的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x+2=2，則B（0，2），
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=4，則A（4，0），
（2）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x-4），
把B（0，2）代入得a•1•（-4）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（3）不存在．
設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）（-1＜t＜4），
因?yàn)椤鰽CP的面積是△ABO的2倍，
所以$\frac{1}{2}$•（4+1）•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=2•$\frac{1}{2}$•2•4，
整理得5t²-15t+12=0，△=15²-4×5×12＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
所以?huà)佄锞�(xiàn)在x軸上方部分不存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積是△ABO的2倍，
當(dāng)P點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，△ACP的面積最大，
因?yàn)閥=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．