Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-x-3分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，二次函數(shù)y=x²+mx+n（m≠6）的圖象經(jīng)過點A．
（1）試證明二次函數(shù)y=x²+mx+n（m≠6）的圖象與x軸有兩個交點；
（2）若二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點D在直線AB上，求m，n的值；
（3）設二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象與x軸的另一個交點為點C，頂點D關于x軸的對稱點設為點E，以AE，AC為鄰邊作平行四邊形EACF，頂點F能否在該二次函數(shù)的圖象上？如果在，求出這個二次函數(shù)的表達式；如果不在，請說明理由？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得n與m的關系，根據(jù)根的判別式，可得答案；
（2）根據(jù)頂點坐標公式，可得頂點坐標，根據(jù)直線上點的坐標滿足函數(shù)解析式，可得關于m的方程，根據(jù)n=3m-9，可得答案；
（3）根據(jù)因式分解法，可得C點坐標，根據(jù)關于x軸對稱的點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，可得E點坐標，根據(jù)平形四邊頂點的坐標關系，可得F點坐標，根據(jù)F點的坐標是否滿足函數(shù)解析式，可得答案．

解答 解：（1）當x=0時，y=-3，即B（0，-3），
當y=0時，-x-3=0，解得x=-3，即A點坐標（-3，0）．
A（-3，0），B（0，-3），
二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過點A（-3，0），則n=3m-9．
即y=x²+mx+（3m-9）．
∵b²-4ac=m²-4（3m-9）=m²-12m+36=（m-6）²，
又m≠6，
∴b²-4ac＞0，
則二次函數(shù)y=x²+mx+（3m-9）的圖象與x軸有兩個交點；
（2）二次函數(shù)y=x²+mx+n，即y=x²+mx+（3m-9）．
頂點坐標為（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9），
因為二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點在直線AB上，
所以-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9=$\frac{m}{2}$-3，解得：m₁=4，m₂≠6，
則n₁=3；        
（3）F點不在拋物線上，理由如下：
拋物線y=x²+mx+（3m-9），
當y=0時，x²+mx+（3m-9）=0，解得x=-3，x=3-m，即C（3-m，0），A（-3，0）．
頂點坐標為（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9），E點關于x軸的對稱點是（-$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9）．
由EACF是平行四邊形，得
x_F+x_A=x_E+x_C，y_F+y_A=y_E+y_C，
即x_F=-$\frac{m}{2}$+3-m-（-3）=-$\frac{3}{2}$m+6，y_F=$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9+0-0=$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9．
即F點坐標為（-$\frac{3}{2}$m+6，$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9）．
將F點的坐標代入，得
（-$\frac{3}{2}$m+6）²+m（-$\frac{3}{2}$m+6）+（3m-9）=-$\frac{3}{4}$m²+3m+27≠$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9，
F點不在拋物線上．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用頂點坐標在直線上得出方程是解題關鍵；利用平行四邊形對角頂點的關系得出F點的坐標是解題關鍵．