Question

20．如圖，點E為正方形ABCD的邊BC延長線上一點，BF⊥DE于點F，交CD邊于點G．
（1）求證：BG=DE；
（2）若F是DE的中點，且DE=4，求△DCE的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出BC=DC，∠BCD=90°，證出∠CBG=∠CDE，由ASA證明△BCG≌△DCE，得出對應邊的即可；
（2）連接BD，作CH⊥DE于H，先求出∠E=67.5°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=EF，證得△CHF為等腰直角三角形，求出CH的長，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠CDE+∠E=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}\\{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
（2）解：連接BD，作CH⊥DE于H，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CBD=45°，
∵F是DE的中點，BF⊥DE，
∴BE=BD，CF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠FCE=∠E=67.5°，
∴∠CFE=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴△CHF為等腰直角三角形，
∴CH=$\frac{CF}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$CH•DE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×4=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；證明三角形全等和等腰三角形是解決問題的關鍵．