Question

5．【定理表述】
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
【嘗試證明】
以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
【知識拓展】
利用圖2中的直角梯形，我們可以證明$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．其證明步驟如下：
∵BC=a+b，AD=$\sqrt{2}$c．
又∵在直角梯形ABCD中有BC＜AD（填大小關(guān)系），即a+b＜$\sqrt{2}$c，
∴$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 【嘗試證明】利用S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED進(jìn)行證明即可；
【知識拓展】在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已證△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=$\sqrt{2}$c，從而可證$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．

解答 解：【定理表述】如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a²+b²=c²．
【嘗試證明】
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°．
∵S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED，
∴$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
整理，得a²+b²=c²．
【知識拓展】
∵AD=$\sqrt{2}$c，BC＜AD，
∴a+b＜$\sqrt{2}$c，即$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$c，＜，a+b＜$\sqrt{2}$c

點評 本題考查了勾股定理的證明，本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、面積分割法、勾股定理等知識．