Question

11．如圖，AB，AD為⊙O的切線，切點分別為B，D，DE為⊙O的直徑，連接BE，OA
（1）求證：BE∥OA；
（2）若AD=DE，求sin∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證Rt△ABO≌Rt△ADO，則∠AOD=∠AOB，又∠DOB是等腰△OBE的外角，則∠DOB=2∠EBO，由此可證得∠EBO=∠AOB，內(nèi)錯角相等，則BE∥OA；
（2）由已知求得∠OAD的正余弦三角函數(shù)值，根據(jù)倍角正弦公式即可求得結論．

解答 （1）證明：連接OB，
∵AB，AD為⊙O的切線，
∴∠ABO=∠ADO=90°．
∵OD=OB，
在Rt△ABO和Rt△ADO中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OB=OD}\end{array}\right.$
∴Rt△ABO≌Rt△ADO，
∴∠AOD=∠AOB，
又∵OE=OB，
∴∠E=∠EBO，
∵∠E=$\frac{1}{2}$∠BOD=∠AOB，
∴∠EBO=∠AOB，
∴BE∥OA；

（2）∵AD=DE，
∴AD=2OD，
∴sin∠DAO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠DAO=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DAB=sin2∠DAO=2sin∠DAOcos∠DAO=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，正余弦函數(shù)，倍角公式等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵．